●●● Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat ●●●
Pada topik sebelumnya, kamu sudah mengenal bilangan bulat. Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat positif, bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat banyak digunakan dalam pemecahan masalah sehari-sehari, salah satu penggunaannya dapat kamu lihat pada ilustrasi di bawah ini.Seorang arkeolog menemukan fosil. Ia memperkirakan fosil itu berasal dari makhluk hidup yang mati pada 100 tahun sebelum masehi. Berapakah usia fosil tersebut sekarang ini?
Untuk menjawabnya, kamu harus menggunakan pengurangan bilangan bulat. Bagaimana caranya? Pada topik berikut ini, kamu akan mempelajarinya.
A. Penjumlahan Bilangan Bulat
Dengan menggunakan dua penggaris, Kevin Tara menghitung penjumlahan 2 + 4. Untuk itu, ia meletakkan angka 0 penggaris kedua tepat di atas angka 2 penggaris pertama. Kemudian, ia membaca angka pada penggaris pertama yang terletak tepat di bawah angka 4 penggaris kedua. Angka pada penggaris pertama tersebut adalah angka 6.
Dari peragaan ini, Kevin Tara mendapatkan 2 + 4 = 6.
1. Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Positif
Contoh:3 + 2 = ….
Dari titik 0, melangkah 3 satuan ke kanan sampai pada bilangan 3.
Dari titik 3, melangkah 2 satuan ke kanan sampai pada bilangan 5.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, 3 + 2 = 5.
2. Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif
Contoh:-2 + (-2) = ….
Dari titik 0, melangkah 2 satuan ke kiri sampai pada bilangan -2.
Dari titik -2, melangkah 2 satuan ke kiri sampai pada bilangan -4.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, -2 + (-2) = -4.
Jika penjumlahan (1) dan (2) diperumum, maka akan didapat kesimpulan berikut.
Jika tanda kedua bilangan yang dijumlahkan sama—keduanya positif atau keduanya negatif—, maka hasilnya merupakan jumlah dari kedua bilangan itu dengan tanda yang sama seperti tanda kedua bilangan yang dijumlahkan.
3. Penjumlahan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif
Contoh:-3 + 6 = ….
Dari titik 0, melangkah 3 satuan ke kiri sampai pada bilangan -3.
Dari titik -3, melangkah 6 satuan ke kanan sampai pada bilangan 3.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, -3 + 6 = 3.
4. Penjumlahan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif
Contoh:5 + (-7) = ….
Dari titik 0, melangkah 5 satuan ke kanan sampai pada bilangan 5.
Dari titik 5, melangkah 7 satuan ke kiri sampai pada bilangan -2.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, 5 + (-7) = -2.
Jika penjumlahan (3) dan (4) diperumum, maka akan didapat kesimpulan berikut.
Jika tanda kedua bilangan yang dijumlahkan tidak sama—satu positif dan satunya negatif—, maka hasilnya merupakan selisih antara kedua bilangan tersebut dengan tandanya sama dengan tanda dari bilangan yang lebih besar.
Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Penjumlahan pada bilangan bulat memenuhi sifat-sifat sebagai berikut.1) Sifat komutatif
Untuk setiap a dan b sebarang bilangan bulat, berlaku hubungan a + b = b + a.
2) Sifat asosiatif
Untuk setiap a, b, dan c sebarang bilangan bulat, berlaku hubungan (a + b) + c = a + (b + c).
3) Sifat tertutup
Jika a dan b sebarang bilangan bulat maka a + b juga merupakan bilangan bulat.
4) Unsur identitas
Jika a sebarang bilangan bulat maka a + 0 = 0 + a = a. Bilangan 0 dinamakan unsur identitas pada penjumlahan bilangan bulat.
B. Pengurangan Bilangan Bulat
1. Pengurangan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Positif
Dari sebuah lubang, seekor semut keluar, lalu bergerak 3 langkah ke kanan. Kemudian, bergerak 4 langkah ke kiri.Dimanakah posisi semut dari lubang tempatnya keluar?
Dengan memisalkan, posisi lubang sebagai titik 0, 3 langkah ke kanan sebagai positif 3, dan 4 langkah ke kiri sebagai negatif 4 maka kalimat matematika untuk permasalahan ini adalah 3 – 4 = ….
Dari titik 0, melangkah 3 satuan ke kanan sampai pada bilangan 3.
Dari titik 3, melangkah 4 satuan ke kiri sampai pada bilangan -1.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, 3 – 4 = -1.
Jadi, semut tersebut sekarang berada 1 langkah dari kiri lubang tempatnya keluar.
2. Pengurangan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif
Contoh:-1 – (-3) = ….
Dari titik 0, melangkah 1 satuan ke kiri sampai pada bilangan -1.
Dari titik -1, melangkah 3 satuan ke kanan sampai pada bilangan 2.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, -1 – (-3) = 2.
Jika pengurangan (1) dan (2) diperumum, maka akan didapat kesimpulan berikut.
Pengurangan antara dua bilangan yang sama tandanya—keduanya positif atau keduanya negatif—sama dengan menjumlahkan bilangan-bilangan itu yang berbeda tanda. Secara matematis, dirumuskan sebagai: a – b = a + (-b).
3. Pengurangan Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif
Contoh:-1 – 3 = ….
Dari titik 0, melangkah 1 satuan ke kiri sampai pada bilangan -1.
Dari titik -1, melangkah 3 satuan ke kiri sampai pada bilangan -4.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, -1 – 3 = -4.
4. Pengurangan Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif
Contoh:2 – (-2) = ….
Dari titik 0, melangkah 2 satuan ke kanan sampai pada bilangan 2.
Dari titik 2, melangkah 2 satuan ke kanan sampai pada bilangan 4.
Garis bilangan tersebut menunjukkan, 2 – (-2) = 4.
Jika pengurangan (3) dan (4) diperumum, maka akan didapat kesimpulan berikut.
Pengurangan antara dua bilangan yang berbeda tandanya—satu positif dan satunya negatif—sama dengan menjumlahkan bilangan-bilangan itu dengan tanda yang sama. Secara matematis, dirumuskan sebagai: a – (-b) = a + b.
Contoh
2. -7 – 8 = -15
3. 14 – (-10) = 24
4. -5 – (-12) = 7
Pada uraian di atas, kalian sudah belajar penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat. Agar pemahaman kalian lebih mendalam, sekarang coba kerjakan soal-soal berikut.
Sumber : http://quipper.com
